Lời giải:
\(I(a,0,0) ∈ Ox\) là tâm mặt cầu
\(\Leftrightarrow IA = IB \Leftrightarrow IA^2 = IB^2\)
\(\Leftrightarrow a = 2 \)
Vậy \( I(2,0,0) \), \( R^2 = IA^2 = 61 \)
Do đó phương trình mặt cầu là:
\( (x - 2)^2 + y^2 + z^2 = 61 \)
Chọn: B
Page 1
Lời giải:
• Mặt cầu (S) có tâm \( I(2,-3,1) \), bán kính \( R = 1 \)
• \( MA^2 + R^2 = IM^2 \)
• MA nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\) IM nhỏ nhất
\(\Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của I xuống d
• \( H(-1 + 2t, -2 - t, 2t) ∈ d \), \( \vec{IH} = (-3 + 2t, 1 - t, -1 + 2t) \)
• \( \vec{IH} ⊥ d \Leftrightarrow \vec{IH} ⊥ \vec{u}_d = (2,-1,2) \)
\( \Leftrightarrow\vec{IH} \cdot \vec{u}_d = 0 \Leftrightarrow -6 + 4t - 1 + t -2 +4t \Leftrightarrow t = 1 \)
\(\Leftrightarrow\) Suy ra \( H(1, -3, 2) \Rightarrow a = 1, b = -3, c = 2 \)
\( \Leftrightarrow a + b + c = 0 \)
Chọn: B
Page 2
Lời giải:
• Đường tròn có chu vi bằng \( 8\pi = 2\pi R \) thì có bán kính \( R = 4 \)
• Hình chiếu vuông góc của tâm \( I(1,-3,2) \) xuống mặt phẳng \( Oxz \) là \( J(1,0,-2) \) (là tâm của đường tròn giao tuyến giữa mp(Oxz) và mặt cầu)
• \( IJ = 3 \)
• Suy ra bán kính của mặt cầu là
\( \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \)
Do đó phương trình của mặt cầu là
\( (x - 1)^2 + (y + 3)^2 + (z - 2)^2 = 25 \)
Chọn: B
Page 3
Lời giải:
• Gọi H là hình chiếu vuông góc của I xuống (P)
\(\Leftrightarrow H \) là tâm đường tròn giao tuyến của (P) và mặt cầu
• Ta có \( IH = d(I, mp(P)) = 3 \)
• Bán kính mặt cầu \( R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \)
• Phương trình mặt cầu
\( (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z - 3)^2 = 25 \)
Chọn: C
Page 4
Lời giải:
• Mặt phẳng (P) trung trực của AB qua \( J(0,2,1) \) và \( ⊥ \vec{AB} = (-4,2,2) // (2,-1,-1) \)
\(\Leftrightarrow MP(P): 2x - y - z + 3 = 0 \)
• Tâm I của mặt cầu là giao điểm của đường thẳng d và mp(P):
\( 2(1 + 2t) - t + 2t + 3 = 0 \Leftrightarrow 5t + 5 = 0 \Leftrightarrow t = -1 \)
Do đó \( \Leftrightarrow I(-1,-1,2) \)
• Bán kính mặt cầu là \( IA = \sqrt{17} \)
Vậy phương trình mặt cầu
\( (x + 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 17 \)
Chọn: A
Page 5
Lời giải:
Ta có \( \vec{OM}, \vec{ON}, \vec{OP} \) đôi một vuông góc.
Suy ra mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \( MNPQ \) qua O gốc tọa độ.
Gọi \( D(-2,-2,0) \) là đỉnh thứ tư của hình vuông \( MOND\)
Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \( MNPQ \), cũng là mặt cầu qua 6 điểm \( M,N,P,Q,O,D \), là trung điểm của DP
\( \Leftrightarrow I(-1,-1,-1) \)
Khi đó \( a + b + c = -3 \)
Chọn: A
Page 6
Lời giải:
• Hình chiếu vuông góc của \( M(1;-2;3) \) lên Ox là \( I(1;0;0) \)
• \( IM = \sqrt{13} \)
• Phương trình mặt cầu tâm \( I(1;0;0) \), bán kính \( IM = \sqrt{13} \) là
\( (x - 1)^2 + y^2 + z^2 = 13 \)
Chọn: A
Page 7
Lời giải:
Nhắc lại: Tứ diện \( OABC \) có \( \vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC} \) đôi một vuông góc nhau
\( \Rightarrow \) H là trực tâm \( \triangle ABC \Leftrightarrow OH \perp mp(ABC) \)
• H là trực tâm \( \triangle ABC \Rightarrow OH \perp mp(ABC) \equiv mp(P) \)
• \( OH = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3 \)
• Phương trình mặt cầu là: \( x^2 + y^2 + z^2 = 9 \)
Chọn: C
Page 8
Lời giải:
• \( d(A, mp(Oxy)) = 2 \)
Mặt cầu \((S)\) tâm \( A(1,3,-2) \), bán kính \( R = 2 \), có phương trình:
\( (x - 1)^2 + (y - 3)^2 + (z + 2)^2 = 4 \)
Chọn: B
Page 9
Lời giải:
• Mặt cầu (S) có tâm \( I(-1,-1,-1) \) và bán kính \( R = 3 \)
• \( IA = 5 \Rightarrow AM = \sqrt{IA^2 - R^2} = 4 \)
• M nằm trên mặt cầu (S') tâm \( A(2,3,-1), R' = 4 \)
\((S'): (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + (z + 1)^2 = 16 \)
• \(M ∈ (S) ∩ (S'):\)
\(
\begin{cases}
x^2 + y^2 + z^2 + 2x + 2y + 2z - 6 = 0 \\
x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y + 2z - 2 = 0
\end{cases}
\)
\( \Leftrightarrow 6x + 8y - 4 = 0 \)
\( \Leftrightarrow 3x + 4y - 2 = 0 \)
Chọn: C
Page 10