Phương trình mặt phẳng - Bài kiểm tra
Lời giải:
• Ta có \( \vec{AB} = (-2,4,-16) // (-1,2,-8) = \vec{a} \)
• Mp (P) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (2,-1,1) \)
• Mặt phẳng chứa AB vuông góc mp (P) có vectơ pháp tuyến là \( [\vec{n}, \vec{a}] = (6,15,3) // (2,5,1) \)
Phương trình của mặt phẳng cần tìm là:
\( 2(x+1) + 5(y-3) + (z+2) = 0 \)
\( \Leftrightarrow 2x + 5y + z - 11 = 0 \)
Chọn B
Page 1
Lời giải:
• Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên mp (P) và trục Ox: \( AH \leq AK \)
• Do đó \( d(A, \text{mp }(P)) = AH \) lớn nhất \( \Leftrightarrow H \equiv K \)
• Hình chiếu vuông góc của A(1;2;-2) xuống Ox là \( K(1;0;0) \Rightarrow \vec{AK} = (0,-2,2) \)
• Mặt phẳng (P) qua \( K(1;0;0) \perp \vec{AK} = (0,-2,2) \)
có phương trình: \( -2(y - 0) + 2(z - 0) = 0 \Leftrightarrow y - z = 0 \)
Cách 2: Tính khoảng cách từ điểm \( A(1;2;-2) \) đến 4 mặt phẳng đã cho, chọn khoảng cách lớn nhất, suy ra đáp số.
Chọn D
Page 2
Lời giải:
\( \vec{BC} = (1,-1,2) \)
Mp (P) qua A và vuông góc \( BC \) có phương trình \( x - y + 2z + 3 = 0 \)
Đường thẳng BC có phương trình
\(
\begin{cases}
x = 1 + t \\
y = -t \\
z = 1 + 2t
\end{cases}
\)
H là hình chiếu vuông góc của A lên BC
⇒ H là giao điểm của BC và (P)
H ∈ BC ⇒ \( H(1 + t, -t, 1 + 2t) \)
H ∈ (P) ⇒ \( 1 + t + t + 2(1 + 2t) + 3 = 0 \Rightarrow t = -1 \)
Vậy \( H(0,1,-1) \)
Chọn C
Page 3
Lời giải:
\( \vec{AB} = (1,-2,2)\)
\(\vec{AD} = (0,-1,3) \)
\(\Rightarrow [\vec{AB}, \vec{AD}] = (-4,-3,-1) \perp \text{mp}(ABD) \)
Đường thẳng qua C \( \perp \text{mp}(ABD) \) có phương trình:
\(
\begin{cases}
x = -2 + 4t \\
y = -4 + 3t \\
z = 2 + t
\end{cases}
\)
Chọn C
Page 4
Lời giải:
• d qua \( A(0,1,3) \) có VTCP \( \vec{u_d} = (2,-1,1) \)
• \( \vec{AM} = (1,-1,-1) \)
• Mp (P) chứa d và \( \Delta \) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = [\vec{AM}, \vec{u_d}] = (-2,-3,1) \)
• Khi đó vectơ chỉ phương của \( \Delta \) là:
\(
\vec{u_\Delta} = [\vec{n}, \vec{u_d}] = (-2,4,8) // (-1,2,4)
\)
Vậy \( a + b = -1 + 2 = 1 \)
Chọn C
Page 5
Lời giải:
• Đường thẳng \( \Delta \) qua \( A(3,5,0) \) vuông góc mặt phẳng (P)
có vectơ chỉ phương là \( \vec{u_P} = (2,3,-1) \) nên có phương trình
\( \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 5 + 3t \\ z = -t \end{cases} \)
• Giao điểm I của \( \Delta \) với (P): \( I(3 + 2t, 5 + 3t, -t) \)
\( 2(3 + 2t) + 3(5 + 3t) + t - 7 = 0 \)
\( \Leftrightarrow 14t + 14 = 0 \Rightarrow t = -1 \)
Do đó \( I(1,2,1) \)
• \( A' \) đối xứng A qua (P) \( \Leftrightarrow I \) là trung điểm của \( AA' \)
\( \Rightarrow A'(-1,-1,2) \)
Chọn C
Page 6
Lời giải:
• \( d // (P) \Rightarrow d \perp \vec{n_P} = (1,1,1) \)
• \( d \perp \Delta \Rightarrow d \perp \vec{u_\Delta} = (3,2,1) \)
\( \Rightarrow \vec{u_d} = (\vec{n_P}, \vec{u_\Delta}) = (-1,2,-1) \)
• d qua \( A(1,-2,3) \) có VTCP \( \vec{u_d} = (1,-2,1) \) có phương trình
\( \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -2 - 2t \\ z = 3 + t \end{cases} \)
Chọn D
Page 7
Lời giải:
• Giao điểm \( A(-1 + 2t, t, -2 + 2t) \) của d và (P):
\( -1 + 2t - t + 2 - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 2 \Rightarrow A(3,-2,2) \)
• \( \Delta \) qua \( A(3,-2,2) \) và \( \Delta \perp (P) \Rightarrow \Delta \subset \text{mp } Q \) qua A và \( \text{mp } Q \perp d \)
• Phương trình mp \( Q \): \( 2x - y + 2z - 12 = 0 \)
• \(
\begin{cases}
\Delta \subset \text{mp } P \\
\Delta \subset \text{mp }Q
\end{cases}
\Rightarrow
\vec{u}_\Delta = [\vec{n}_P, \vec{n}_\alpha] =
\left[
\begin{matrix}
\vec{n}_P = (1,1,-1) \\
\vec{n}_Q = (2,-1,2)
\end{matrix}
\right]
\)
\( \Rightarrow \vec{u_\Delta} = (1,0,-3) \)
• \( \Delta \) qua \( A(3,-2,2) \) có VTCP \( \vec{u_\Delta} = (1,0,-3) \)
Phương trình \( \Delta \):
\( \begin{cases} x = 3 + t \\ y = -2 \\ z = 2 - 3t \end{cases} \)
\( E(4,-2,-1) \in \Delta \)
Chọn C
Page 8
Lời giải:
• Đường thẳng \( AC \) qua \( A(0,0,1) \) có VTCP \( \vec{AC} = (2,-2,2) \) có phương trình
\( \begin{cases} x = t \\ y = -t \\ z = 1 + t \end{cases} \)
• Gọi H là hình chiếu vuông góc của B xuống \( AC \): \( H(t, -t, 1 + t) \)
• \( \vec{BH} = (t + 3, -t - 2, 1 + t) \perp \vec{AC} = (2,-2,2) \)
\( \Leftrightarrow \vec{BH} \cdot \vec{AC} = 0 \)
\( \Rightarrow 2(t + 3) + 2(t + 2) + 2(1 + t) = 0 \Rightarrow 6t + 12 = 0 \Rightarrow t = -2 \)
\( \Rightarrow H(-2,2,-1) \)
• Đường cao BH qua B(-3,2,0) có VTCP \( \vec{BH} = (1,0,-1) \) có phương trình
\( \begin{cases} x = -3 + t \\ y = 2 \\ z = -t \end{cases} \)
Khi đó \( P(-1,2,-2) \in BM \)
Chọn C
Page 9
Lời giải:
Ta có trung điểm của ΔB là \( I(2,-3,0) \)
\( \vec{MA} \cdot \vec{MB} = (\vec{MI} + \vec{IA})(\vec{MI} + \vec{IB}) = \vec{MI}^2 + \vec{IA} \cdot \vec{MI} + \vec{IB} \cdot \vec{MI} + \vec{IA} \cdot \vec{IB} \)
\( = \vec{MI}^2 - \vec{IA}^2 = \vec{MI}^2 - 9 \)
Suy ra:
\( \vec{MA} \cdot \vec{MB} \) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \vec{MI} \) nhỏ nhất
\( \Leftrightarrow M \) là hình chiếu vuông góc của I xuống đường thẳng \( d \)
• \( M \in d \Rightarrow M(-3 + 4t, 2 + t, -3 + 2t) \Rightarrow \vec{IM} = (-5 + 4t, 5 + t, -3 + 2t) \)
• (d) có VTCP \( \vec{u} = (4,1,2) \)
\( \vec{IM} \perp \vec{u} \Rightarrow \vec{IM} \cdot \vec{u} = 0 \Rightarrow 4(-5 + 4t) + (5 + t) + 2(-3 + 2t) = 0 \)
\( \Leftrightarrow t = 1 \)
Vậy \( M(1,3,-1) \)
Chọn B
Page 10
Lời giải:
• Mp \( Q \) chứa d và vuông góc mp (P) có 2 vectơ chỉ phương
\( \vec{u_d} = (1,-2,3) \)
\( \vec{n_P} = (2,1,-2)\)
\(\Rightarrow \vec{n_\alpha} = [\vec{u_d}, \vec{n_P}] = (1,8,5) \)
• Mp \( Q\): \( x + 8y + 5z + d = 0 \)
• Mp \( Q \) chứa d nên qua điểm \( A(2,0,-3) \in d \)
\( \Rightarrow 2 + 0 - 15 + d = 0 \Rightarrow d = 13 \)
Vậy mp \( Q \): \( x + 8y + 5z + 13 = 0 \)
Chọn B.
Page 11
Lời giải:
• Đường thẳng \( d \) qua \( M(0,1,2) \) có VTCP \( \vec{u_d} = (-1,2,1) \)
\( \Rightarrow \vec{IM} = (-1,1,1) \)
• Gọi H là trung điểm \( AB \)
\(
d(I, d) = IH = \dfrac{|\vec{IM}, \vec{u_d}|}{|\vec{u_d}|} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}
\)
Do tam giác \( IAB \) vuông cân tại I nên
\( R = IA = IH \cdot \sqrt{2} = \dfrac{\sqrt{6}}{3} \)
Chọn B
Page 12
Lời giải:
• \( \Delta \) nằm trong mp \( Q \) qua \( M(1,2,2) \) và song song mp (P) mp \( Q\): \( x - y + z - 1 = 0 \)
• \( \Delta \) qua giao điểm \( N \) của đường thẳng \( d \) với mp \( Q \)
\( (1 + t) - (2 + t) + (3 + t) - 1 = 0 \Leftrightarrow t = -1 \)
Do đó \( N(0,1,2) \)
• Đường thẳng \( \Delta \) qua \( M(1,2,2) \) và \( N(0,1,2) \) có
\( \vec{u_\Delta} = \vec{MN} = (-1,-1,0) \)
\(
\Delta:
\begin{cases}
x = 1 - t \\
y = 2 - t \\
z = 2
\end{cases}
\)
Chọn A
Page 13
Lời giải:
• Mọi điểm thuộc \( \Delta \) luôn cách đều 2 điểm A, B
\( \Rightarrow \Delta \) nằm trong mặt phẳng (Q) trung trực của AB
• Trung điểm của AB là \( I\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{5}{2}, 0\right) \), \( \vec{AB} = (-3,-1,0) \)
\(
\Rightarrow \text{mp}(Q): 3\left(x - \dfrac{3}{2}\right) + \left(y - \dfrac{5}{2}\right) = 0
\Rightarrow 6x + 2y - 14 = 0
\)
• \( \vec{n_P} = (1,1,1))
• \vec{n_Q} = (3,1,0) \)
• \( \Delta = (P) \cap (Q) \Rightarrow \vec{u_\Delta} = [\vec{n_P}, \vec{n_Q}] = (-1,3,-2) \)
Chọn B
Page 14
Lời giải:
\( \vec{n_P} = (1,1,1)\)
\(\vec{n_\alpha} = (1,-1,1)
\(\Rightarrow [\vec{n_P}, \vec{n_\alpha}] = (2,0,-2) \)
• Đường thẳng \( d \) song song với (P) và (Q)
\(
\Rightarrow
\begin{cases}
d \perp \vec{n}_P \\
d \perp \vec{n}_\alpha
\end{cases}
\Rightarrow
d \\ [\vec{n}_P, \vec{n}_\alpha] = (2;0;-2)
\)
• Vậy \( d \) qua \( A(1,-2,3) \), VTCP \( \vec{u_d} = (1,0,-1) \)
Đo đó phương trình của d:
\(
\begin{cases}
x = 1 + t \\
y = -2 \\
z = 3 - t
\end{cases}
\)
Chọn A
Page 15
Lời giải:
• \( d \cap (P) = \{A\} \Rightarrow A(0;1;2) \)
• Lấy \( M(2;3;0) \in d \)
• Gọi \( \Delta \) là đường thẳng qua M vuông góc với (P)
khi đó: \( \Delta: \dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 3}{2} = \dfrac{z}{1} \)
• Gọi \( H = \Delta \cap (P) \Rightarrow H\left(\dfrac{4}{3}, \dfrac{5}{3}, \dfrac{-2}{3}\right) \)
\( \Rightarrow \vec{AH} = \left( \dfrac{4}{3}, \dfrac{2}{3}, -\dfrac{8}{3} \right) \Rightarrow (2;1;-4) \)
Gọi \( d' \) là hình chiếu vuông góc của d xuống (P)
khi đó \( d' \) qua A(0;1;2) có VTCP \( \vec{u} = (2;1;-4) \)
\( \Rightarrow d': \dfrac{x}{2} = \dfrac{y - 1}{1} = \dfrac{z - 2}{-4} \)
Chọn C
Page 16
Lời giải:
d có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (1;-3;-1) \)
(P) có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (3;-3;2) \)
• \( \vec{n} \) không cùng phương với \( \vec{u} \Rightarrow d \) không vuông góc với (P): loại B.
• \( \vec{n} \cdot \vec{u} = 3 + 9 - 2 \ne 0 \Rightarrow \vec{n} \nVdash \vec{u} \Rightarrow d \) không song song và d không nằm trong (P): loại C và D.
Chọn A
Page 17
Lời giải:
• Gọi \( \Delta \) là đường thẳng cần tìm, \( \Delta \) cắt Ox tại \( B(b,0,0) \)
\( \Rightarrow \vec{AB} = (b - 1, -2, -3) \)
• \( \Delta \perp d \Rightarrow \vec{AB} \perp \vec{u_d} = (2,1,-2) \)
\( \Rightarrow \Delta \cdot \vec{u_d} = 2(b - 1) - 2 + 6 = 0 \Rightarrow b = -1 \)
\( \Rightarrow \Delta \) qua \( B(-1,0,0) \) có VTCP (2;2;3) có phương trình
\(
\begin{cases}
x = -1 + 2t \\
y = 2t \\
z = 3t
\end{cases}
\)
Cách 2: Có thể dùng phương pháp thử
• Đường thẳng \( \Delta \) cắt Ox \( \Rightarrow \Delta \) phải qua điểm có tọa độ (a;0;0): loại B và D.
• Đường thẳng ở C không vuông góc với d: loại C
Chọn A
Page 18
Lời giải:
• Đường thẳng \(\Delta\) có VTCP \( \vec{u} = (5;1;1) \)
• Mặt phẳng P có vectơ pháp \( \vec{n_P} = (10;2;m) \)
\( \Delta \perp (P) \Leftrightarrow \vec{n_P} \) cùng phương với \( \vec{u} \)
\( \Leftrightarrow \dfrac{10}{5} = \dfrac{2}{1} = \dfrac{m}{1} \Leftrightarrow m = 2 \)
Chọn B
Page 19
Lời giải:
\( \vec{u_{d_1}} = (-1;1;1) \)
\(\vec{u_{d_2}} = (2;-1;-1) \)
\(
\begin{cases}
P \parallel d_1 \\
P \parallel d_2
\end{cases}
\Rightarrow
\vec{n}_P = [\vec{u}_{d_1}, \vec{u}_{d_2}] = (0;1;-1) \quad\) Loại \( A, C\)
\)
• d1 qua \( M(2;0;0) \)
• d2 qua \(N(0;1;2)\)
P song song và cách đều d1, d2 ⇒ P qua trung điểm \( I(1;\dfrac{1}{2};1) \) của MN
Phương trình mặt phẳng P: \( (y - \dfrac{1}{2}) - (z - 1) = 0 \)
\( \Leftrightarrow y - z + \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow 2y - 2z + 1 = 0 \)
Chọn D
Page 20