Bài tập: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm cấp hai trên \(\mathbb{R}\)  thỏa mãn: \(f(0) = 0\), \(f'(1) = \frac{9}{2}\), \(\int_{0}^{1} (f'(x))^2 dx = \frac{39}{4}\), \(\int_{0}^{1} (x^2 + x) f''(x) dx = \frac{5}{2}\). Tính \(I = \int_{0}^{2} f(x) dx\).  

A. \(\frac{14}{3} \quad \)  B. \(14 \quad\)  C. \(\frac{7}{3} \quad\)  D. \(7\)

Bài tập: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([0, \frac{\pi}{4}]\) thỏa mãn: \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (f(x))^2 dx = \frac{\pi}{8}, \quad \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f'(x) \sin{2x} dx = -\frac{\pi}{4}\), và \(f(\frac{\pi}{4}) = 0\). Tính \(I = \int_{0}^{\frac{\pi}{8}} f(2x) dx\).  

A. \(I = \frac{1}{2} \quad\)  B. \(I = \frac{1}{4} \quad\)  C. \(I = 2 \quad\)  D. \(I = 1\)

Bài tập: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([4, 8]\), và \(f(x) \neq 0, \forall x \in [4, 8]\). Biết rằng \(\int_{4}^{8} \frac{[f'(x)]^2}{[f(x)]^4} dt = 1 \quad \& \quad f(4) = \frac{1}{4}, \quad f(8) = \frac{1}{2}.\) Tính \(f(6)\).  

A. \(\frac{5}{8} \quad\)  B. \(\frac{2}{3} \quad\)  C. \(\frac{3}{8} \quad\)  D. \(\frac{1}{3}\)

Bài tập: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \([0, 1]\) thỏa mãn: \(f(0) = 0, \, f(1) = 1\) và \(\int_{0}^{1} \frac{[f'(x)]^2}{e^{x}} dx = \frac{1}{e - 1}.\) Tính \(\int_{0}^{1} f(x) dx\).  

A. \(\frac{e - 2}{e - 1} \quad\)  B. \(1 \quad\)  C. \(\frac{1}{(e - 2)(e - 1)} \quad\)  D. \(\frac{e - 1}{e - 2}\)

Bài tập: Cho hàm số \(y = f(x)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trong \([0, 2]\). Thỏa mãn: \(f(0) = 0\), \(f(2) = 9\) và \(\int_{0}^{2} \frac{[f'(x)]^2}{f(x)} dx = 18.\) Tính \(f(1)\).  

A. \(\frac{9}{4} \quad\)  B. \(\frac{25}{4} \quad\)  C. \(\frac{9}{2} \quad\)  D. \(\frac{15}{4}\)