Bài tập: Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên \([0, 1]\), \(f(x), f'(x)\) đều nhận giá trị dương trên \([0, 1]\) và thỏa mãn: \(f(0) = 2;\) \(\int_{0}^{1} \left[[f'(x) \cdot (f(x))^2] + 1\right] dx = 2 \int_{0}^{1} f(x) \cdot \sqrt{f'(x)} dx.\) Tính \(\int_{0}^{1} (f(x))^3 dx.\)

A. \(\frac{15}{4} \quad\)  B. \(\frac{15}{2} \quad\)  C. \(\frac{17}{2} \quad\)  D. \(\frac{19}{2}\)

Bài tập: Cho hàm số \(y = f(x)\) đồng biến, có đạo hàm và nhận giá trị dương trong \((0, +\infty)\). Thỏa mãn: \(f(2) = 3\), \([f'(x)]^2 = (x+1)f(x)\). Tính \(f(8)\).

A. \(9 \quad \)  B. \(81 \quad \)  C. \(27 \quad \)  D. \(3\)

Bài tập: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\). Thỏa mãn: \(x^2 (f(x))^2 + (2x - 1)f(x) = x f'(x) - 1, \, \forall x \neq 0,\) và \(f(1) = -2\). Tính \(\int_{1}^{2} f(x) dx.\)

A. \(-1 - \frac{\ln{2}}{2} \quad\)  B. \(-\frac{1}{2} - \ln{2} \quad\)  C. \(-\frac{3}{2} - \ln{2} \quad\)  D. \(-\frac{3}{2} - \frac{\ln{2}}{2}\)

Bài tập: Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn: \(2x[1 + f(x)] = [f'(x)]^3, \, \forall x \in \mathbb{R}, \, f(0) = -1, \, f(x) > -1, \, \forall x \neq 0.\) Tính \(I = \int_{0}^{1} f(x) dx.\)

A. \(\frac{1}{4} \quad\)  B. \(-\frac{5}{6}\quad\)  C. \(\frac{1}{3}\quad\)  D. \(-\frac{2}{3}\)

​​​​​​​Bài tập: Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \([1, 4]\), đồng biến trên đoạn \([1, 4]\) và thỏa mãn đẳng thức: \(x + 2x f(x) = [f'(x)]^2, \, \forall x \in [1, 4].\) Biết rằng \(f(1) = \frac{3}{2}\). Tính \(I = \int_{1}^{4} f(x) dx.\)

A. \(I = \frac{1186}{45} \quad\)  B. \(I = \frac{1174}{45} \quad\)  C. \(I = \frac{1222}{45} \quad\)  D. \(I = \frac{1201}{45} \quad\)