Vectơ trong không gian. Tọa độ trong không gian - Bài kiểm tra
Lời giải:
\( \vec{BC'} = \vec{BA} + \vec{AA'} + \vec{A'C'} = -\vec{a} + \vec{c} + \vec{b} \)
Chọn: D
Page 1
Lời giải:
\( \vec{A'C} = \vec{A'A} + \vec{AB} + \vec{BC} = -\vec{c} + \vec{a} + \vec{b}\)
Chọn: C
Page 2
Lời giải:
• \( M(a, b, c) \in \text{mp } (Oxy) \Rightarrow c = 0 \)
• \( \vec{AM} = (a - 3, b - 2, -1), \quad \vec{BM} = (a, b - 1, -2) \)
\( A, B, M \) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \vec{AM} \parallel \vec{BM} \)
\(\Leftrightarrow \dfrac{a}{a - 3} = \dfrac{b - 1}{b - 2} = \dfrac{-2}{-1} \)
\(\Leftrightarrow
\begin{cases}
a = 2a - 6 \\
b - 1 = 2b - 4
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
a=6\\
b=3
\end{cases}
\)
Vậy \( M(6, 3, 0) \)
\( \Rightarrow a + b + c = 6 + 3 + 0 = 9 \)
Chọn: B
Page 3
Lời giải:
Các điểm trong mặt phẳng \( Oxz \) có tung độ \( y = 0 \)
Chọn: D
Page 4
Lời giải:
\( A'\) đối xứng \(A( 1, 2, -2 ) \) là \( A'(-1, 2, 2) \)
* Tổng quát: Cho \( A(x_0, y_0, z_0) \)
• Điểm đối xứng của \( A \) qua \( Ox \) là: \( A_1(x_0, -y_0, -z_0) \)
• Điểm đối xứng của \( A \) qua \( Oy \) là \( A_2(-x_0, y_0, -z_0) \)
• Điểm đối xứng của \( A \) qua \( Oz \) là \( A_3(-x_0, -y_0, z_0) \)
• Điểm đối xứng của \( A \) qua mặt phẳng \( Oxy \): \( A_4(x_0, y_0, -z_0) \)
• Điểm đối xứng của \( A \) qua mặt phẳng \( Oxz \): \( A_5(x_0, -y_0, z_0) \)
• Điểm đối xứng của \( A \) qua mặt phẳng \( Oyz \): \( A_6(-x_0, y_0, z_0) \)
Chọn: D
Page 5
Lời giải:
\( ABCD \) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \vec{AB} = \vec{DC} \)
• \(\vec{AB} = (-2, 1, 1)\)
• \(\vec{DC} = ( -x_D, 3 - y_D, -1 - z_D ) \)
• \( \vec{AB} = \vec{DC} \)
\(\Leftrightarrow
\begin{cases}
-x_D = -2 \\
3 - y_D = 1 \\
-1 - z_D = 1
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x_D = 2 \\
y_D = 2 \\
z_D = -2
\end{cases}
\)
Chọn: C
Page 6
Lời giải:
• Ta có
\( \vec{AB} + \vec{AC} = 3\vec{AG} \)
\(\Rightarrow \vec{AC} = 3\vec{AG} - \vec{AB} \)
• \( \vec{AG} = (-2, 2, 2) \) và \( \vec{AB} = (1, 4, -1) \)
• \( \vec{AC} = 3vec{AG} - \vec{AB}= (-6, 6, 6) - (1, 4, -1) \) \(= (-7, 2, 7)\)
\(
\Rightarrow
\begin{cases}
x_C - 1 = -7 \\
y_C + 1 = 2 \\
z_C - 2 = 7
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x_C = -6 \\
y_C = 1 \\
z_C = 9
\end{cases}
\)
Vậy: \( C(-6, 1, 9) \)
Chọn: D
Page 7
Lời giải:
• Trung điểm của đoạn \( AC \) là \( I(2, -1, -1) \)
• Trung điểm của đoạn \( BD' \) là \( I'(0, 2, 3) \)
• \( \vec{AA'} = \vec{II'}\)
\( \Leftrightarrow
\begin{cases}
x_{A'} + 1 = -2 \\
y_{A'} = 3 \\
z_{A'} - 1 = 4
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x_{A'} = -3 \\
y_{A'} = 3\\
z_{A'} = 5
\end{cases}
\Leftrightarrow A'(-3, 3, 5)
\)
Chọn: A
Page 8
Lời giải:
• \( \vec{AB} = \vec{DC} \Leftrightarrow (2, 1, 2) = (2 - x_D, 1 - y_D, 2 - z_D)\)
\(\Leftrightarrow
\begin{cases}
2 - x_D = 2 \\
- y_D = 1 \\
-1 - z_D = 2
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x_D = 0 \\
y_D = -1 \\
z_D = -3
\end{cases}
\Leftrightarrow D(0, -1, -3)\)
• \( \vec{BB'} = \vec{DD'} \Leftrightarrow (x_{B'} - 1, y_{B'} - 2, z_{B'} - 3) = (4, 2, 6)\)
\(\Leftrightarrow
\begin{cases}
x_{B'} - 1 = 4 \\
y_{B'} - 2 = 2 \\
z_{B'} - 3 = 6
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x_{B'} = 5 \\
y_{B'} = 4 \\
z_{B'} = 9
\end{cases}
\Leftrightarrow B'(5, 4, 9)
\)
Chọn: D
Page 9
Lời giải:
\( \vec{BA} = (0, 1, 0), \vec{BC} = (1, -1, 0) \)
\( \cos(\vec{BA},\vec{BC}) = \dfrac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \dfrac{-1}{1 \cdot \sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow \angle ABC = 135^\circ \)
Chọn: B
Page 10
Lời giải:
\( MM' \) ngắn nhất
\( \Leftrightarrow M' \) là hình chiếu vuông góc của điểm \( M(1, 2, 3) \) xuống mặt phẳng \( Oxy \)
\( \Leftrightarrow M'(1, 2, 0) \)
Khi đó: \( a - b = 1 - 2 = -1 \)
Chọn: B
Page 11
Lời giải:
\( \vec{P} = \vec{a} - 2\vec{b} + \vec{c} \Rightarrow \vec{P}= (-4, 1, -3) \)
\(\Rightarrow |\vec{P}| = \sqrt{16+1+9} = \sqrt{26} \)
Chọn: C
Page 12
Lời giải:
\( \Delta MNP \) vuông tại \( M \):
\( \Leftrightarrow \vec{MN} = (-3, -1, 4) \perp \vec{MP} = (0, m - 4, 4) \)
\( \Leftrightarrow \vec{MN} \cdot \vec{MP} = 0 \)
\( \Leftrightarrow 4.m + 16 = 0 \Leftrightarrow m = 20\)
Chọn: D
Page 13
Lời giải:
\(\vec{AB} = (1, 3, 1)\)
\(\vec{AC} = (3, 1, 1)\)
\( \Rightarrow AB = AC \)
\(\vec{CD} = (1, 3, 1) \Rightarrow \vec{AB} \parallel = \vec{CD} \)
\( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \ne 0 \Rightarrow AB \not\perp AC \)
Vậy tứ giác \(ABCD\) là hình thoi
Chọn: C
Page 14
Lời giải:
\(\vec{AM} = (-1, y - 2, 1), \quad \vec{BM} = (-3, y + 2, -1)\)
\( AM = BM \Leftrightarrow AM^2 = BM^2\)
\( \Leftrightarrow 1 + (y - 2)^2 + 1 = 9 + (y + 2)^2 + 1\)
\( \Leftrightarrow y^2 - 4y + 6 = y^2 + 4y + 14\)
\( \Leftrightarrow 8y = -8 \Rightarrow y = -1\)
Do đó: \(y^2 - 2y = 3\)
Chọn: D
Page 15
Lời giải:
\(|\vec{p}|^2 = \vec{p}.\vec{p} = (2\vec{a} - 3\vec{b})^2\)
\(= 4 \vec{a}^2 + 9\vec{b}^2 - 12\vec{a} . \vec{b}\)
\(= 4 + 36 - 12 . 1 . 2 . \frac{1}{2} = 28\)
\(\Rightarrow |\vec{p}| = 2\sqrt{7}\)
Chọn: B
Page 16
Lời giải:
\(|\vec{p}|^2 = \vec{p} \cdot \vec{p} = (\vec{a} - 2\vec{b} + 3\vec{c})^2\)
\(= \vec{a}^2 + 4\vec{b}^2 + 9\vec{c}^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 6\vec{a} \cdot \vec{c} - 12\vec{b} \cdot \vec{c}\)
\(= |\vec{a}|^2 + 4|\vec{b}|^2 + 9|\vec{c}|^2\)
\(= 1 + 16 + 81 = 98\Rightarrow |\vec{p}| = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}\)
Chọn: C
Page 17
Lời giải:
• Gọi I là một điểm tùy ý
\(\vec{MA} - 2\vec{MB} = (\vec{MI} + \vec{IA}) - 2(\vec{MI} + \vec{IB})
= -\vec{MI} + \vec{IA} - 2\vec{IB}\)
• Tìm điểm \( I(x, y, z) \) sao cho: \(\vec{IA} - 2\vec{IB} = 0\)
\(\begin{cases}
2 - x - 2(-1 - x) = 0 \\
3 - y - 2(1 - y) = 0 \\
1 - z - 2(0 - z) = 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x = 0, \\
y = -1, \\
z = -1
\end{cases}\)
\( \Leftrightarrow I(0, -1, -1) \)
• Khi đó \( P = |\vec{MA} - 2\vec{MB}| = |\vec{IM}| \) nhỏ nhất
\( \Leftrightarrow M \) là hình chiếu vuông góc của \( I(0, -1, -1) \) xuống mặt phẳng \( Oxy \)
\(\Leftrightarrow M(0, 0, -1)\)
Vậy:
\(\begin{cases}
a = 0 \\
b = -1
\end{cases}
\Rightarrow a + b = -1
\)
Chọn: C
Page 18
Lời giải:
• Gọi \( G \) là trọng tâm của tam giác \( \triangle ABC \Rightarrow G(2, 0, 1) \)
• \(|\vec{MA}| + |\vec{MB}| + |\vec{MC}| = 3|\vec{MG}|\) nhỏ nhất
\( \Leftrightarrow M \) là hình chiếu vuông góc của \( G (2,0,1)\) xuống mặt phẳng (Oyz)
\(\Leftrightarrow M(0, 0, 1)\)
Khi đó: \( x_M + y_M + z_M = 0 + 1 + 0 = 1 \)
Chọn: C
Page 19
Lời giải:
• Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có 5 đỉnh trong 8 đỉnh đó là \( O, A, B, C, D \).
Do đó, đường kính của mặt cầu là \( OD = \sqrt{3} \)
\(\Rightarrow \text{Bán kính } R = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
Chọn: D
Page 20