Đáp án

Trang chủ

Bài viết

Bài tập: Nguyên hàm \( F(x)\) của hàm số \( f(x) = x\sqrt{1+x^2} \) thỏa mãn điều kiện \( F(\sqrt{3}) = 2 \) là:

A. \( F(x) = \frac{1}{3}(\sqrt{1+x^2})^3 - \frac{2}{3} \quad\)

B. \( F(x) = \frac{2}{3}\sqrt{1+x^2} + \frac{2}{3} \)

C. \( F(x) = \frac{2}{3}(\sqrt{1+x^2})^3 - \frac{2}{3} \quad\)

D. \( F(x) = \frac{2}{3}(\sqrt{1+x^2})^3 + \frac{8}{9} \)

Đáp án:

• \( F(x) = \int x\sqrt{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int (2x(1+x^2)^{\frac{1}{2}}) \, dx \)

\( = \frac{1}{2} \frac{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (1+x^2)\sqrt{1+x^2} + C \)

• \( F(\sqrt{3}) = \frac{8}{3} + C = 2 \implies C = -\frac{2}{3} \)

• Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \)

Thêm:

• \( \int \cos x \sqrt{1+2\sin x} \, dx \)

• \( \int x^3 (1+x^4)^5 \, dx \)