Đáp án

Trang chủ

Bài viết

Bài tập: Biết \( \int f(x) \, dx = \frac{x - 2}{x + 1} + C \). Tính \( \int f(e^x) \, dx \).

A. \( 3(x + \ln(1 + e^x) + \frac{1}{1 + e^x}) + C \quad \)

B. \( 3(x - \ln(1 + e^x) - \frac{1}{1 + e^x}) + C \)

C. \( 3(x - \ln(1 + e^x) + \frac{1}{1 + e^x}) + C \quad \)

D. \( x - \ln(1 + e^x) + \frac{1}{1 + e^x} + C \)

Đáp án:

• \( \int f(x) \, dx = \frac{x - 2}{x + 1} + C \)

\(\Rightarrow f(x) = \frac{3}{(x + 1)^2} \Rightarrow f(e^x) = \frac{3}{(1 + e^x)^2}\)

• \( \int f(e^x) \, dx = 3 \int \frac{1}{(1 + e^x)^2} \, dx = 3 \left[ \int \frac{1 + e^x - e^x}{(1 + e^x)^2} \, dx \right] \)

\( = 3 \left( \int \frac{1}{1 + e^x} \, dx - \int \frac{e^x}{(1 + e^x)^2} \, dx \right) \)

\( = 3 \left( \int \frac{1 + e^x - e^x}{1 + e^x} \, dx + \frac{1}{1 + e^x} + C \right) \)

\( = 3 \left[ x - \ln|1 + e^x| + \frac{1}{1 + e^x} \right] + C \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{C}\)