Lời giải 

\( \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 2} \Rightarrow \begin{cases} A = 2 \\ B = 3 \end{cases} \)

\( \int_{0}^{2} \frac{5x + 7}{(x + 1)(x + 2)} \, dx = \int_{0}^{2} (\frac{2}{x + 1} \,  +  \frac{3}{x + 2}) \, dx \)

\(=( 2 \ln(x + 1) + 3 \ln(x + 2))\big|_{0}^{2} = (2 \ln 3 +  3\ln 4) - 3 \ln 2 \)

\(= 2 \ln 3 +3 \ln 2\)

\(\Rightarrow\begin{cases}
a = 3\\
b = 2 
\end{cases}
\Rightarrow a^2 + b^2 = 13 \)  

\( \Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \( \boxed{A} \)