( 2017 câu 37)

Lời giải  

* \( \int_a^b udv = uv \bigg|_a^b -  \int_a^b vdu\)

\( \int \frac{f(x)}{x} \, dx = \frac{-1}{3x^3} + C \) 

\( \Rightarrow \frac{f(x)}{x} \, dx = (-\frac{1}{ 3x^3})' = - \frac{(-3)}{3.x^4} = \frac{1}{x^4} \Rightarrow  f(x) = \frac{1}{x^3}\)

 \( \Rightarrow  f'(x) = \frac{-3}{x^4} \)

 \( I = \int_1^e f'(x) \ln x \, dx  = -3 \int_1^e \frac{1}{x^4}  \ln x \,dx \) 

Đặt \( \begin{cases}
u = \ln x\\
dv = \frac{1}{x^4} \, dx 
\end{cases}
\Rightarrow \begin{cases}
du =  \frac{1}{x} \, dx\\
v = - \frac{1}{3x^3}
\end{cases}\)

\( I = -3 \left[ -\frac{1}{3x^3} \ln x \Big|_1^e + \int_1^e \frac{1}{3x^4} dx \right] \)  

Đặt \( \begin{cases}
u = \ln x\\
dv = f'(x) \, dx 
\end{cases}
\Rightarrow \begin{cases}
du =  \frac{1}{x} \, dx\\
v = f(x)
\end{cases}\)

\( \int_1^e f'(x) \ln x \, dx = \ln x . f(x) \bigg|_1^e - \int_1^e \frac{1}{x}f(x) \,dx\)

\( = f(e) + \frac{1}{3x^3} \bigg|_1^e = f(e) + \frac{1}{3e^3} - \frac{1}{3} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{C}} \)