Lời giải

*  \( f(x) + f(-x) = x^2 \Rightarrow \int_{-1}^1 f(x) \, dx + \int_{-1}^1 f(-x) \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_{-1}^1 = \frac{2}{3}\)

* Xét \( \int_{-1}^1 f(-x) \, dx \) 

Đặt \( t = -x \Rightarrow dt = -dx\)

\( \begin{cases}
x = -1 \Rightarrow t = 1 \\
x = 1  \Rightarrow t = - 1 
\end{cases}\)

\( \int_{-1}^1 f(-x) \, dx = \int_1^{-1} f(t) (-dt) = \int_{-1}^1 f(t) \, dt = \int_{-1}^1 f(x) \, dx \)

\( \Rightarrow \int_{-1}^1 f(x) \, dx = \frac{1}{3} \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{D}} \)