Lời giải

Đặt \( \begin{cases}
u = x+1 \\
dv = \frac{f'(x)}{\sqrt{f(x)}} \, dx
\end{cases} \Rightarrow
\begin{cases}
du = dx \\
v = 2\sqrt{f(x)}
\end{cases} \)

\( 10 = \int_{-1}^1 \frac{(x+1)f'(x)}{\sqrt{f(x)}} \, dx = (x+1)2\sqrt{f(x)} \bigg|_{-1}^1 - 2 \int_{-1}^1 \sqrt{f(x)} \, dx \)

      \(  = 4\sqrt{f(1)} - 2I = 8 - 2I \Rightarrow \ I = -1 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \)