( Đề thi TNPT 2023 câu 42. Mã 101)

Lời giải

Ta có:  

\(  f(x) \ln f(x) = x (f(x) - f'(x) \Leftrightarrow \ln f(x) = x ( 1 - \frac{f'(x)}{f(x)}) \)

\( \Leftrightarrow \ln f(x) = x ( 1 - (\ln f(x))' )\)

\( \Leftrightarrow \ln f(x) + x (\ln f(x))' = x \)

\( \Leftrightarrow (x \ln f(x))' = x \)

Suy ra  \( x \ln f(x) = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + c \)

Cho \( x = 1 \), ta được:  \( \ln f(1) = \frac{1}{2} + c \)

Cho \( x = 3 \), ta được:  \( 3\ln f(3) = \frac{9}{2} + c \)

Vì \( f(1) = f(3) \) suy ra:  \( c = \frac{3}{2} \)

Nên:  \( x \ln f(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{3}{2} \implies \ln f(x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2x} \)

\( \Rightarrow f(x) = e^{\frac{x^2}{2} + \frac{3}{2x}} \)

Suy ra \(  f(2) = e^{\frac{7}{4}} \approx 5,75 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)