Bài tập: Cho hàm số \( y = e^{-x^2} \) có đồ thị như hình vẽ. \( ABCD \) là hình chữ nhật thay đổi, sao cho B và C luôn thuộc đồ thị hàm số đã cho, \( A,D \) nằm trên trục hoành. Giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật \( ABCD \) là:  

(Trường THPT Thăng Long - Hà Nội 2019)  

Lời giải

Gọi \( a \) là hoành độ của \( D \Rightarrow C(a, e^{-a^2}) \)

\( S_{ABCD} = 2a . e^{-a^2} = f(a) , a > 0\)

\( f'(a) = 2 \left[ e^{-a^2} - 2a^2.e^{-a^2} \right] = 2 . e^{-a^2} \left[ 1 - 2a^2 \right]  = 0 \Leftrightarrow a = \frac{\sqrt{2}}{2} \) 

Bảng xét dấu:  

\( Max  S = f( \frac{\sqrt{2}}{2})  = 2 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{-\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{e}} \) 

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{A}} \)