Lời giải

\( I = \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx + \int_1^e e^x \ln x \, dx \)

Xét \( \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx \)  

Đặt \( 
\begin{cases}
u = e^x \\
dv = \frac{1}{x} \, dx
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
du = e^x \, dx \\
 v = \ln x
\end{cases}\)

\( \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx = e^x \ln x \Bigg|_1^e - \int_1^e e^x \ln x \, dx \)

\( \Rightarrow I = \int_1^e \frac{e^x}{x} \, dx + \int_1^e e^x \ln x \, dx = e^x \ln x \Bigg|_1^e = e^e\)