(ĐH Thái Nguyên 2007)

Lời giải

Chia cả tử và mẫu cho \( \,  x^2\) 

\( I = \int_{1}^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{x^2 - 1 + \frac{1}{x^2}} \, dx  = \int_{1}^{\frac{1 + \sqrt{5}}{2}} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{\left(x - \frac{1}{x}\right)^2 + 1} \, dx\)

Đặt \( t = x - \frac{1}{x} \Rightarrow dt = \left(1 + \frac{1}{x^2}\right) \, dx \)

\( \begin{cases}
x = 1 \Rightarrow t = 0\\
x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow t = 1
\end{cases} \)

\( I = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + t^2} \, dt \) ( Đặt \(t = tanu .......\))

\( = \frac{\pi}{4} \)

Tổng quát: \( \int \frac{x^2 \pm 1}{x^4 + bx^2 + 1} \, dx\)