Lời giải

Chia cả tử và mẫu cho \( \, x^2 \)  

\( I = \int_{1}^{2} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{\left(x + \frac{1}{x} + 5\right)\left(x + \frac{1}{x} - 3\right)} \, dx \)

Đặt \( t = x + \frac{1}{x} \Rightarrow dt = \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) dx \)

\( \begin{cases}
x = 1 \Rightarrow t = 2\\
x = 2 \Rightarrow t = \frac{5}{2}
\end{cases} \)

 \( I = \int_{2}^{\frac{5}{2}} \frac{1}{(t + 5)(t - 3)} \, dt = \frac{1}{8} \int_{2}^{\frac{5}{2}} \left(\frac{1}{t - 3} - \frac{1}{t + 5}\right) \, dt\)

    \(  = \frac{1}{8} \ln \left| \frac{t - 3}{t + 5} \right| \bigg|_{2}^{\frac{5}{2}} \)