Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm cấp hai trên đoạn \([0,1]\) và thỏa mãn: \( \big(f'(x)\big)^2 = f''(x) \), \( f'(x) \neq 0, \, \forall x \in [0,1] \), \( f'(0) = -1 \). Đặt \( T = f(1) - f(0) \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(-2 \leq T < -1\quad \)
B. \(-1 \leq T < 0 \quad\)
C. \(0 \leq T < 1 \quad\)
D. \(1 \leq T < 2\)
Lời giải
• \(\frac{ f''(x)}{\left[f'(x)\right]^2} = 1 \implies -\frac{1}{f'(x)} = x + c \implies f'(x) = \frac{-1}{x + c} \)
• \( f'(0) = -1 \implies c = 1: f'(x) = \frac{-1}{x + 1} \)
\(\implies f(x) = -\ln|x+1| + c \)
\( \implies f(1) - f(0) = -\ln(2) = -0.6931 \in (-1, 0) \) => \( \boxed{B} \)