Đáp án

Beedemy

Trang chủ

Bài viết

Đáp án

Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm trên \( \mathbb{R} \), với: \( f'(x) = (2x + 3)e^{-f(x)}, \quad \forall x \in \mathbb{R}, \quad f(0) = \ln 2 \). Tính: \( \int_{1}^{2} f(x) \, dx \).

\( \text{A. } 2 + 6 \ln 2 \quad \) \( \text{B. } -2 + 6 \ln 2 \quad \) \( \text{C. } -3 + 6 \ln 2 \quad \) \( \text{D. } 3 + 6 \ln 2 \).

Đáp án:

\( f'(x) = (2x + 3)e^{-f(x)} \quad \Leftrightarrow \quad f'(x) \cdot e^{f(x)} = 2x + 3 \).

Gợi ý: \( \int f'(x) e^{f(x)} \, dx = e^{f(x)} + C \)

\( \Rightarrow \int f'(x) e^{f(x)} \, dx = x^2 + 3x + C \).

\( \Rightarrow e^{f(x)} = x^2 + 3x + C \).

\(\Rightarrow f(0) = \ln 2 \Leftrightarrow C = 2 \).

\( \Rightarrow e^{f(x)} = x^2 + 3x + 2 \quad \Rightarrow \quad f(x) = \ln(x^2 + 3x + 2) \).

\( \int_{1}^{2} f(x) \, dx = \int_{1}^{2} \ln(x^2 + 3x + 2) \, dx = \int_{0}^{2} f(x) \, dx = -2 + 6 \ln 2 \Rightarrow \boxed{\text{ B}} \).