Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm trên \( \mathbb{R} \), thỏa mãn: \( 3f'(x) \cdot e^{f^3(x) - x^2 - 1} - \frac{2x}{f(x} = 0 \) và \( f(0) = 1 \). Tính \( I = \int_{0}^{\sqrt{7}} x f(x) \, dx \).

A. \( \frac{2\sqrt{7}}{3} \quad \) B. \( \frac{15}{4} \quad \) C. \( \frac{45}{8} \quad \)  D. \( \frac{5\sqrt{7}}{4} \).

Đáp án

\( 3f'(x)  e^{f^3(x) - x^2 - 1} = \frac{2x}{f^2(x)} \)

\( \left(Gợi ý: f^3(x))' = 3f'(x) (f(x))^2 , \quad   (x^2 + 1)' = 2x \right)\)  

\( \iff 3f'(x) \cdot (f(x))^2 \cdot e^{f^3(x)} = 2x \cdot e^{x^2+1} \)

\( \iff e^{f^3(x)} = e^{x^2+1} + C \)

\( f(0) = 1 \Rightarrow C = 0 \)

Suy ra: \( (f(x))^3 = x^2 + 1  \implies f(x) = \sqrt[3]{x^2 + 1} \)

\( I = \int_{0}^{\sqrt{7}} x \sqrt[3]{x^2 + 1} \, dx = \frac{45}{8} \implies\boxed{C} \)