Đáp án:

\( \ln f(x) + \ln e^{f(x) - 1} = \ln \left[ (x^2 + 1)e^{x^2} \right] \)

\( \Rightarrow \ln f(x) \cdot e^{f(x) - 1} = \ln \left[ (x^2 + 1)e^{x^2} \right] \)

\( \Rightarrow f(x) \cdot e^{f(x) - 1} = (x^2 + 1)e^{x^2} \quad (1) \)

\( g(t) = t \cdot e^{t - 1} \)  đồng biến trên \( (0, +\infty) \).

(1) \( \Leftrightarrow g(f(x)) = g(x^2 + 1) \Leftrightarrow f(x) = x^2 + 1 \).

 \( I = \int_0^1 x f(x) \, dx = \int_0^1 (x^3 + x) \, dx = \frac{3}{4} \Rightarrow \boxed{D} \)