Đáp án:

\( \sqrt{f(x) - 1} + e^{f(x)} = \sqrt{x^2 + x + 1} + e^{x^2 + x + 2} \quad (1) \).

Xét \( h(t) = \sqrt{t - 1} + e^t \), hàm này đồng biến trên \( D_h = [1, +\infty) \).

(1) \(\Leftrightarrow h(f(x)) = h(x^2 + x + 2) \Leftrightarrow f(x) = x^2 + x + 2 \).

\(\Rightarrow I = \int_1^2 (x^2 + x + 2) \, dx = \frac{35}{6} \Rightarrow \boxed{C} \).