Bài tập: Cho \( f(x) \) là hàm số chẵn liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn: \( \int_0^1 f(x) \, dx = 2. \) Hàm \( g(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) thỏa mãn: \( g(x) + g(-x) = 1, \, \forall x \in \mathbb{R}. \) Tính: \( \int_{-1}^1 g(x)f(x) \, dx. \)
A. 2 \(\quad \) B. \( \frac{1}{4} \) \(\quad \) C. \( 1 \) \(\quad \) D. \( \frac{1}{2} \)
Đáp án:
\(\int_{-1}^1 g(x)f(x) \, dx = \int_{-1}^1 \big(c_1 - g(- x)\big) f(x) \, dx\)
\(= \int_{-1}^1 f(x) \, dx - \int_{-1}^1 g(- x)f(x) \, dx = 4 + \int_{-1}^1 g(- x) f(- x) \, d(- x)\)
\(\Rightarrow \int_{-1}^1 g(x)f(x) \, dx = 4 + \int_{-1}^1 g(t)f(t) \, dt\)
\(\Rightarrow \int_{-1}^1 g(x)f(x) \, dx = 2 \Rightarrow \boxed{A}\)