Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và hàm số \( y = g(x) = x f(x^2) \) có đồ thị như hình vẽ. Biết diện tích vùng gạch chéo \( S = \frac{5}{2} \). Tính \( I = \int_{1}^{4} f(x) \, dx \)

Lời giải

• \( \int_{1}^{2} x f(x^2) \, dx = \frac{5}{2} \)

Đặt \( t = x^2 \), suy ra \( dt = 2x \, dx \)  
\( \begin{cases} x = 1 & \Rightarrow t = 1 \\ x = 2 & \Rightarrow t = 4 \end{cases} \)

\( \frac{5}{2} = \int_{1}^{2} x f(x^2) \, dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} f(t) \, dt = \frac{1}{2} I \Rightarrow I = 5 \)

\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{D}} \)