Đáp án
Bài tập: Cho hàm số \( y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \), \( a \neq 0 \), có đồ thị \( (C) \) tiếp xúc trục hoành tại \( y = 4 \) tại điểm có hoành độ âm. Đồ thị của hàm số \( y = f'(x) \) cho bởi hình vẽ dưới. Tính diện tích \( S \) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \( (C) \) và trục hoành:
\( \textbf{A.} S = 9 \)
\( \textbf{B.} S = \frac{27}{4} \)
\( \textbf{C.} S = \frac{21}{4} \)
\( \textbf{D.} S = \frac{5}{4} \)
Lời giải
\(f'(x) = k(x^2 - 1), \quad f'(0) = -3 \implies k = 3.\)
\(\implies f'(x) = 3x^2 - 3 \implies f(x) = \int f'(x) \, dx = x^3 - 3x + C.\)
(C) tiếp xúc với đường thẳng y = 4 tại điểm có hoành độ âm:
\( \Leftrightarrow f(-1) = 4 \implies (-1) + 3 + C = 4 \implies C = 2\)
\( \Rightarrow f(x) = x^3 - 3x + 2\)
\(f(x) = 0 \implies x^3 - 3x + 2 = 0 \implies (x - 1)(x^2 + x - 2) = 0\)
\(\implies ( x-1)^2 (x+2) = 0 \Leftrightarrow
\begin{cases}
x = 1 \\
x = -2
\end{cases}\)
\(S = \int_{-2}^1 |f(x)| \, dx = \int_{-2}^1 (x^3 - 3x + 2) \, dx = \frac{27}{4}\)
\(\Rightarrow\) Vậy chọn đáp án \(\boxed{\text{B}} \)