Đáp án
Bài tập: Cho tứ diện \(ABCD\) với \(A(2, 0, 0)\), \(B(0, 3, 0)\), \(C(0, 0, 3)\), \(D(1, -1, 2)\). Gọi \(H\) là chân đường vuông góc hạ từ \(D\) xuống mặt phẳng \((ABC)\). Viết phương trình mặt phẳng \((ADH)\):
A. \(6x + 8y - z - 12 = 0 \quad \) B. \(6x + 8y - z + 4 = 0\)
C. \(3x + 2y + 2z - 6 = 0 \quad \) D. \(6x - 8y - z - 12 = 0\)
C. \(3x + 2y + 2z - 6 = 0 \quad \) D. \(6x - 8y - z - 12 = 0\)
Lời giải:
+ Mặt phẳng \((ADH)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\).
Phương trình mặt phẳng \((ABC)\): \( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1\Leftrightarrow 3x + 2y + 2z - 6 = 0. \)
+ \( \vec{n}_{(ABC)} = (3, 2, 2) \parallel mp(ADH) \)
+ \(\overrightarrow{AD} = (-1, -1, 2) \subset (ADH)\).
\(\Rightarrow \vec{n}_{(ADH)} = [\vec{n}_{(ABC)}, \overrightarrow{AD}] = (6, -8, -1). \)
\(\Rightarrow\) Phương trình mặt phẳng \((ADH)\): \( 6x - 8y - z - 12 = 0 \Rightarrow \boxed{D}\)
Cách 2:
- \(\overrightarrow{HD} \perp \text{mp}(ABC)\) : \(3x + 2y + 2z - 6 = 0\).
\(\Rightarrow \overrightarrow{HD} \parallel \vec{n}_{(ABC)} = (3, 2, 2). \)
\( \Rightarrow \vec{n}_{(ADH)} = [\vec{n}_{(ABC)}, \overrightarrow{AD}] = (6, -8, -1). \)