Bài tập: Cho 3 điểm \( A(a,0,0), B(0,b,0), C(0,0,c) \) với \( a, b, c \) luôn thỏa mãn: \( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1. \) Khoảng cách lớn nhất từ điểm \( O \) (gốc tọa độ) đến mặt phẳng \((ABC)\) là:
A. \( 3 \quad \) B. \( \sqrt{14} \quad \) C. \( 2\sqrt{3} \quad \) D. \( \sqrt{15} \).
Đáp án:
- Mặt phẳng \((ABC)\): \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \quad \text{luôn qua } I(1,2,3). \)
- Khoảng cách \( d(O, (ABC)) = OH \leq OI = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}. \)
- Max \( d(O, (ABC)) = \sqrt{14} \), khi mặt phẳng \((ABC) \perp OI \Rightarrow \boxed{B}\).