Đáp án
Bài tập: Cho \( A(4, 6, 2) \), \( B(2, -2, 0) \text{ và mặt phẳng } (P): x + y + z = 0 \). Xét đường thẳng \( d \) thay đổi thuộc mặt phẳng \( (P) \) và đi qua điểm \( B \). Gọi \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) trên \( d \). Biết rằng khi \( d \) thay đổi thì \( H \) thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính \( R \) của đường tròn đó.
\(A. R = 1 \)
\(B. R = \sqrt{6} \)
\(C. R = \sqrt{3} \)
\(D. R = 2 \)
Đáp án:
\( B \in \text{mặt phẳng } (P), A \notin \text{mặt phẳng } (P) \).
\( H \) thuộc đường tròn đường kính \( BI \), với \( I \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) xuống mặt phẳng \( (P) \).
\( \Delta \) qua \( A(4, 6, 2) \), \(\Delta \perp \text{mặt phẳng } (P) \Rightarrow \Delta: \begin{cases} x = 4 + t \\ y = 6 + t \\ z = 2 + t \end{cases} \)
\( \Delta \cap (P): 4 + t + 6 + t + 2 + t = 0 \Leftrightarrow t = -4 \Leftrightarrow I(0, 2, -2). \)
\( R = \frac{BI}{2} = \frac{\sqrt{4 + 16 + 4}}{2} = \frac{\sqrt{24}}{2} = \sqrt{6} \Rightarrow \boxed{B} \)