Đáp án:

a) \( d_1 \) qua \( A(1, 2, 3) \) có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u_{d_1}} = (2, 1, 4) \)  
\( d_2 \) qua \( B(2, -1, -2) \) có vectơ chỉ phương \( \overrightarrow{u_{d_2}} = (1, a, 2a + 1) \)

\( d_1 \parallel d_2 \Leftrightarrow
\begin{cases}
B \notin d_1 \\
\vec{u}_{d_1} \text{ cùng phương } \vec{u}_{d_2}
\end{cases}
\Leftrightarrow 
\frac{1}{2} = \frac{a}{1} = \frac{2a + 1}{4} \)

\( \Rightarrow a = \frac{1}{2} \)  

b) \( d_1 \text{ cắt } d_2 \Leftrightarrow \begin{cases}  
\overrightarrow{u_{d_1}}, \overrightarrow{u_{d_2}} \text{ không cùng phương} \\  
\left[\overrightarrow{u_{d_1}}, \overrightarrow{u_{d_2}}\right] \cdot \overrightarrow{AB} = 0.  
\end{cases} \)  

\( \overrightarrow{u_{d_1}}, \overrightarrow{u_{d_2}} \) cùng phương \( \Rightarrow a \neq \frac{1}{2}. \)  

\( \left[\overrightarrow{u_{d_1}}, \overrightarrow{u_{d_2}}\right] = (-2a + 1, -4a + 2, 2a - 1). \)  
\( \overrightarrow{AB} = (1, 3, -5). \)  

Tính:  
\( \left[\overrightarrow{u_{d_1}}, \overrightarrow{u_{d_2}}\right] \cdot \overrightarrow{AB} = -2a +1+ 12a - 6 - 10a + 5 = 0, \quad \forall a \neq \frac{1}{2}. \)  

Vậy \( d_1 \text{ cắt } d_2 \) khi \( \forall a \neq \frac{1}{2}. \)  

Suy ra: \(\forall a \in \mathbb{R}, d_1 \) và \( d_2 \) luôn đồng phẳng.