Đáp án
Bài tập: Cho điểm \( A(1,-2,3) \) và đường thẳng \(\Delta\): \( \frac{x-4}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z+2}{-1} \).Xét mặt phẳng P thay đổi luôn chứa đường thẳng \(\Delta\). Gọi \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) xuống \(P\). Biết rằng khi mặt phẳng P thay đổi thì điểm \( H \) luôn nằm trên một đường tròn cố định. Tọa độ tâm \( I \) của đường tròn này là:
\(A. I(2,1,-1) \)
\(B. I(-2,1,1) \)
\(C. I(2,1,1) \)
\(D. I(2,-1,1) \)
Đáp án:
- Gọi \( K \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) xuống \(\Delta\).
- \( H \) nằm trên đường tròn đường kính AK nằm trong mặt phẳng \(\alpha\) qua \( A \perp \Delta \).
+ Mặt phẳng \(\alpha\) qua \( A \perp \Delta \) có phương trình mp\(\alpha\): \( x-y-z = 0 \).
+ Giao điểm \( K \) của \(\Delta\) và mặt phẳng \(\alpha\):
\( 4+t - (3-t) - (-2-t) = 0 \)
\(\Rightarrow t = -1 \Rightarrow K(3,4,-1). \)
+ Tâm \( I \) là trung điểm của \( A \) và \( K \Rightarrow I(2,1,1) \Rightarrow \boxed{C} \)