Đáp án:

\( d_1 \) có vector chỉ phương \( \vec{u}_1 = (1, 3, -5) \),  
\( d_2 \) có vector chỉ phương \( \vec{u}_2 = (1, -1, -1) \).

Gọi \( A(2 + t_1, 4 + 3t_1, -3 - 5t_1) \in d_1 \),  
\( B(-2 + t_2, -2 - t_2, -1 - t_2) \in d_2 \).

\( \vec{AB} = (-4 + t_2 - t_1, -6 - 3t_2 + 3t_1, 2 + t_2 + 5t_1). \)

 \( \vec{AB} \perp d_1 \Leftrightarrow \vec{AB} \perp \vec{u}_1 \):  
\( -4 + t_2 - t_1 - 18 - 3t_2 - 9t_1 - 10 + 5t_2 - 25t_1 = 0 \Leftrightarrow 32 + 3t_2 - 35t_1 = 0. \)

 \( \vec{AB} \perp d_2 \Leftrightarrow \vec{AB} \perp \vec{u}_2 \):  
\( -4 + t_2 - t_1 + 6 + t_2 + 3t_1 - 2 + t_2 - 5t_1 = 0 \Leftrightarrow 3t_2 - 3t_1 = 0. \)

\( \Leftrightarrow \begin{cases} 32 + 3t_2 - 35t_1 = 0 \\ 2t_2 - 3t_1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t_1 = -1 \\ t_2 = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} A(1, 1, 2) \\ B(-3, -1, 0) \end{cases} \) 

\( \vec{AB} = (-4, -2, -2) \parallel (2, 1, 1). \)

Một phương trình của đường thẳng \( AB \):  
\( \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{1}. \)