Bài tập:Trong không gian \( Oxyz \), cho hai đường thẳng: \( d_1: \frac{x-2}{1} = \frac{y-4}{3} = \frac{z+3}{-5}, \quad d_2: \frac{x+2}{1} = \frac{y+2}{-1} = \frac{z+1}{-1}. \) Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \), gọi \( (S) \) là mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. Phương trình của \( (S) \) là:
A. \( x^2 + (y+1)^2 + z^2 = 6 \),
B. \( x^2 + (y-3)^2 + (z+4)^2 = 6 \),
C. \( (x+1)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 6 \),
D. \( (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z+3)^2 = 6 \).
(Đề thi TNPT 2024, câu 46, mã 104)
Đáp án:
Mặt cầu \( (S) \) có bán kính nhỏ nhất khi đường kính của \( (S) \) là đoạn vuông góc chung của \( d_1 \) và \( d_2 \).
Theo kết quả bài trước, ta có đường vuông góc chung \( AB \) của \( d_1 \) và \( d_2 \):
\( A(1, 1, 2) \in d_1, \, B(-3, -1, 0) \in d_2 \).
Do đó, tâm của mặt cầu \( (S) \) là trung điểm của \( AB \): \( I(-1, 0, 1). \)
Phương trình của \( (S) \): \( (x+1)^2 + y^2 + (z-1)^2 = 6. \)
Vậy chọn: \( \boxed{C}. \)