Đáp án

Bài tập: Cho đường thẳng \( d: \frac{x+1}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{1} \), điểm \( I(1, 3, -2) \), và mặt phẳng \( (P): x + 2y - 3z - 1 = 0 \).  Tọa độ của điểm \( M \in d \) sao cho đường thẳng \( MI \) cắt \( (P) \) tại \( N \), với \( I \) là trung điểm của \( MN \) là:  
\(A.  M(12, 27, 15) \quad  B.  M(15, 33, 18)  \quad C.  M(13, 29, 16) \quad  D.  M(14, 31, 17) \) 

Đáp án:

Cách 1: \( M \in d \Leftrightarrow M(-1 + t, 1 + 2t, 2 + t) \).  

\( I(1, 3, -2) \) là trung điểm \( MN \Leftrightarrow N(-1 + 3, -2t + 5, -t - 6) \).  

\( N \in (P) \Leftrightarrow -t + 3  -4t + 10 + 3t +18 - 1 = 0.\)  

\(\Leftrightarrow -2t + 30 = 0 \Leftrightarrow t = 15 \Leftrightarrow  M(14, 31, 17) \Rightarrow \boxed{D}\)

Cách 2:

- M là giao điểm của đường thẳng \( d \) và mặt phẳng Q song song với mặt phẳng P sao cho \( d(I, (P)) = d(I, (Q)) \).
- \( A(1, 0, 0) \in (P) \).

- B là điểm sao cho \( I \) là trung điểm của \( AB \Rightarrow B(1, 6, -4) \).
- Mặt phẳng \( (Q) \) qua \( B(1, 6, -4) \| \) mpP có phương trình: \( x + 2y - 3z - 25 = 0 \).

- Tọa độ \( M \) thỏa hệ: \( \begin{cases} 2x - y = -3 \\ x - z = -3 \\ x + 2y - 3z = 25 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 14 \\ y = 31 \\ z = 17 \end{cases} \Rightarrow \boxed{D}\)