Bài tập: Cho mặt phẳng \( \text{mp}(P) \) và 2 điểm \( A, B \). Xác định mặt phẳng \( \text{mp}(Q) \) qua \( A, B \), sao cho góc tạo bởi \( \text{mp}(P) \) và \( \text{mp}(Q) \) nhỏ nhất.  

Đáp án:

Giả sử \( \text{mp}(P) \cap \text{mp}(Q) = \Delta \).  
- Hạ \( AH \perp \text{mp}(P) \) (\( H \) cố định).  
- Hạ \( HK \perp \Delta \).  

Góc \( \alpha \) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow \tan \alpha = \frac{AH}{HK}, \quad \text{nhỏ nhất}\)

\(\Leftrightarrow HK \text{ lớn nhất} \Leftrightarrow K \equiv I \)  
\( \Leftrightarrow \Delta \perp HI \quad \Leftrightarrow \quad \Delta \perp \overrightarrow{AB}. \)  

\(\begin{cases} \Delta \perp \overrightarrow{AB} \\ \Delta \perp \overrightarrow{n_P} \end{cases} \Rightarrow \overrightarrow{u_\Delta} = [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{n_P}]. \)

\( \overrightarrow{n_Q} = [\overrightarrow{u_\Delta}, \overrightarrow{AB}] = [[\overrightarrow{n_P}, \overrightarrow{AB}], \overrightarrow{AB}]. \)