Bài tập: Trong không gian \( Oxyz \), cho 2 đường thẳng \( d \) và \( d' \): \( d: \begin{cases} x = t \\ y = 1 - t \\ z = 2 \end{cases}, \quad d': \begin{cases} x = 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 \end{cases}. \) Gọi \( (S) \) là mặt cầu tiếp xúc \( d \) tại \( A(2, -1, 2) \) và có tâm thuộc đường thẳng \( d' \). Bán kính \( R \) của mặt cầu \( (S) \) là:
A. \( R = \sqrt{73} \quad \) B. \( R = \sqrt{19} \quad \) C. \( R = \sqrt{21} \quad \) D. \( R = \sqrt{23} \)
Đáp án:
Tâm \( I \) của mặt cầu \( (S) \) thuộc mặt phẳng \( (P) \), vuông góc với \( d \) tại \( A(2, -1, 2) \):
\( \implies (P): x - y - 3 = 0. \)
\( I \) là giao điểm của \( d' \) và mặt phẳng \( (P) \):
\( 2t - 1 - t - 3 = 0 \iff t = 4 \iff I = \begin{cases} x=8 \\ y=5 \\ z=1 \end{cases}. \)
\( R = IA = \sqrt{36 + 36 + 1} = \sqrt{73} \implies \boxed{A}\)