Đáp án
Bài tập: Cho mặt cầu \( (S) \) có phương trình: \( (x - 1)^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 4 \) và điểm \( A(2, 1, 3) \). Một đường thẳng \( \Delta \) di động luôn qua \( A \) và tiếp xúc mặt cầu \( (S) \) tại \( M \). Biết rằng điểm \( M \) luôn nằm trên một đường tròn \( (C) \) cố định. Bán kính của đường tròn \( (C) \) bằng:
A. \( \frac{4}{3} \quad \) B. \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \quad \) C. \( \frac{\sqrt{3}}{3} \quad \) D. \( 2\sqrt{3} \)
Đáp án:
Mặt cầu \( (S) \) có tâm \( I(1, 0, 1) \), bán kính \( R = 2 \).
\( IA = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} > R = 2. \)
\( \implies AM = \sqrt{IA^2 - IM^2} = \sqrt{2}. \)
- Gọi \( J \) là hình chiếu vuông góc của \( M \) xuống đường thẳng \( IA \):
\( IJ \cdot IA = IM^2 \implies IJ = \frac{IM^2}{IA} = \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}}{3} \implies J \) cố định
\( \implies M \in \text{mpP} \perp IA \) tại \( J \):
\( JM^2 = JI \cdot JA = \frac{2\sqrt{6}}{3} \cdot (\sqrt{6} - \frac{2\sqrt{6}}{3}) = \frac{2\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{4}{3}. \)
\( \implies JM = \frac{2\sqrt{3}}{3} \implies \boxed{B}\)
Xác định tọa độ tâm \(J\) của đường tròn \((C)\)