Đáp án
Bài tập: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu \( (S): (x-1)^2 + (y-3)^2 + (z-2)^2 = 1 \) và hai mặt phẳng \( (P): x-y+z-1=0 \), \( (Q): x+y-z-3=0 \). Viết phương trình mặt phẳng \( \alpha \) chứa giao tuyến của mặt phẳng \( P \) và mặt phẳng \( Q \), đồng thời tiếp xúc mặt cầu \( (S) \).
A. \( x - 2 = 0 \quad \) B. \( x - y - 2 = 0 \quad \) C. \( 2x - y + 1 = 0 \quad \) D. \( x - 2y = 0 \)
Đáp án:
Mặt phẳng \( \alpha \): \( x-y+z-1 + m(x+y-z-3) = 0 \)
\( (1+m)x + (3m-1)y + (1-m)z -1 - 3m = 0 \)
Mặt phẳng \( \alpha \) tiếp xúc \( (S) \iff d(I, \text{mp} \alpha) = 1 \text{ với } I(1,3,2) \)
\(\iff \frac{|1+m + 3(m-1) + 2(1-m) -1 -3m|}{\sqrt{(m+1)^2 + (m-1)^2 + (1-m)^2}} = 1 \)
\( \iff \frac{|-1-3m|}{\sqrt{3m^2 - 2m + 3}} = 1 \iff m^2 + 2m + 1 = 3m^2 - 2m + 3 \)
\( \iff 2m^2 - 4m + 2 = 0 \iff m = 1 \)
Mặt phẳng \( \alpha \): \( x - 2 = 0 \Rightarrow \boxed{A} \)