Đáp án
Bài tập: Cho đường thẳng \( d: \frac{x-y}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{1} \) và mặt phẳng \( P: 2x + y - 2z + 2 = 0 \).
Viết phương trình mặt cầu \( (S) \) có tâm nằm trên đường thẳng \( d \), tiếp xúc với mặt phẳng \( P \), qua điểm \( A(1,-1,1) \) và có bán kính nhỏ nhất.
Viết phương trình mặt cầu \( (S) \) có tâm nằm trên đường thẳng \( d \), tiếp xúc với mặt phẳng \( P \), qua điểm \( A(1,-1,1) \) và có bán kính nhỏ nhất.
Đáp án:
Dự đoán có 2 mặt cầu thỏa đề bài \( \Rightarrow \) chọn mặt cầu có \( R \) nhỏ nhất.
- \( I \in d \Leftrightarrow I(4+3t, t, 1+t) \)
- \( d(I, (P)) = IA \):
\( \Leftrightarrow \frac{|8+6t + t - 2 - 2t + 2|}{3} = \sqrt{(3+3t)^2 + t^2 + (1+t)^2}.\)
\( \Leftrightarrow \frac{15t + 81}{3} = \sqrt{11t^2 + 20t + 10}.\)
\( \Leftrightarrow 25t^2 + 80t + 64 = 99t^2 + 180t + 90.\)
\( \Leftrightarrow 74t^2 + 100t + 26 = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} t = -1 \\ t =-\frac{26}{74}= -\frac{13}{37} \end{cases}.\)
\( t = -1 \Rightarrow R = d(I, (P)) = 1.\)
\( t = -\frac{13}{37} \Rightarrow R = \frac{\left|8 -\frac{65}{37}\right|}{3} = \frac{77}{37}.\)
Chọn \( t = -1 \Rightarrow I(1, -1, 0), \, R = 1.\)
\( (S): (x-1)^2 + (y+1)^2 + z^2 = 1.\)