Đáp án
Bài tập: Cho đường thẳng \( d: \frac{x - 2}{2} = \frac{y }{-1} = \frac{z }{4} \) và mặt cầu \( (S): (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 2 \). Hai mặt phẳng \( (P), (Q) \) chứa \( d \) và tiếp xúc \( (S) \) tại \( M \) và \( N \). Tính độ dài \( MN \).
A. \( MN = 2\sqrt{2} \quad \) B. \( MN = \frac{4\sqrt{3}}{3} \quad \) C. \( MN = \sqrt{6} \quad \) D. \( MN = 4 \).
Đáp án:
Mặt cầu \( (S) \) có tâm \( I(1, 2, 1) \), \( R = \sqrt{2} \).
- Gọi \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( I \) lên \( d \). \( H(2 + t, - t, 4t) \in d \). \( \overrightarrow{IH} \cdot \overrightarrow{u}_d = 0 \Leftrightarrow t = 0 \Leftrightarrow H(2, 0, 0) \).
- \( IH = \sqrt{6} \), \( IM = R = \sqrt{2} \Rightarrow HM = 2 \).
\( MK = \frac{MH \cdot MI}{IH} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \),
\( \Rightarrow MN = 2MK = \frac{4\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \boxed{B}. \)