Đáp án:

\( OM = \sqrt{6} < \sqrt{8} = R \Rightarrow M \) nằm trong mặt cầu \( (S) \).  

Hạ \( OH \perp  AB \), đặt \( OH = x \Rightarrow 0 < x \leq \sqrt{6} \).  

 \( HA = \sqrt{OA^2 - OH^2} = \sqrt{8 - x^2} \Rightarrow AB = 2\sqrt{8 - x^2} \).  

\( S_{\Delta AB} = \frac{1}{2} AB \cdot CH = x\sqrt{8 - x^2} \).

 Nếu thay \( M(1, 1, 2) \) bởi \( M(1, 1, 1) \), thì sao?

Khi đó: \( OM = \sqrt{3} \) và \( x = 2 \notin (0, \sqrt{3}) \). Bây giờ phải khảo sát hàm số \( f(x) = x\sqrt{8 - x^2} \) với \( 0 < x \leq \sqrt{3} \).  

- \( f'(x) = \frac{8 - 2x^2}{\sqrt{8 - x^2}} = 0 \Rightarrow x = 2 \, (x > 0) \).  

 - \( \max S = f(\sqrt{3}) = \sqrt{15} \Rightarrow \boxed{A} \).  

Rút ra: Nếu \( OM \geqslant \frac{R\sqrt{2}}{2} \), thì \( \text{Max} S = \frac{1}{2}R^2 \).  
 Nếu \( OM < \frac{R\sqrt{2}}{2} \), thì \( \text{Max} S = OM\sqrt{R^2 - OM^2} \).