Đáp án
Bài tập: Cho mặt cầu \( (S): (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = 25 \) và \( M(4, 6, 3) \). Qua \( M \), kẻ các đoạn \( Mx, My, Mz \) đôi một vuông góc nhau và cắt mặt cầu \( (S) \) tại điểm thứ hai tương ứng là \( A, B, C \). Biết rằng mặt phẳng \( (ABC) \) luôn qua điểm cố định \( H(a, b, c) \). Tính \( a + 3b + c \).
A. 21 \(\quad\) B. 14 \(\quad\) C. 20 \(\quad\) D. 15.
Đáp án:
- Mặt cầu \( (S) \) có tâm \( I(1, 2, 3) \), bán kính \( R = 5 \).
- \( M(4, 6, 3) \in (S) \).
Xem hình lập phương chữ nhật bên dưới:
(Vì hình chiếu vuông góc của \( I \) xuống mặt phẳng \( ( ABM) \) là trung điểm của \( AB \), tương tự với mặt phẳng \( (MAC) \) và \( (MCB) \))
\(\Rightarrow I \) là tâm của hình hộp chữ nhật có các đỉnh \( M, A, B, C \).
- Mặt phẳng \( (ABC) \) cắt \( IM \) tại \( H \), là trọng tâm của \( \Delta ABC \).
\( \overrightarrow{MH} = \frac{2}{3} \overrightarrow{MI} \).
\( \Rightarrow \begin{cases}
x_H = \frac{x_M + 2x_I}{3} = 2 \\
y_H = \frac{y_M + 2y_I}{3} = \frac{10}{3} \\
z_H = \frac{z_M + 2z_I}{3} = 3
\end{cases} \)
\( \Rightarrow a + 3b + c = 15 \Rightarrow \boxed{D}\).