Đáp án:

- Mặt cầu \( (S) \) qua \( A \) và \( B \)  \(\Rightarrow\) Tâm \( I \) của mặt cầu \( (S) \) nằm trong mặt phẳng \( (Q) \), qua \( J(2, 2, 2) \bot \overrightarrow{AB} = (2, 0, 2) \).  
Phương trình mặt phẳng \( (Q): x + z - 4 = 0 \).  

- Suy ra: Tâm \( I \) của mặt cầu \( (S) \) nằm trên đường thẳng \( \Delta \) là giao tuyến của mặt phẳng \( (P) \) và \( (Q) \):  
\( \begin{cases} x - y - 3 = 0 \\ x + z - 4 = 0 \end{cases} \).

\( R = IA = \sqrt{JA^2 + IJ^2} \)

- \( R \) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow IJ \) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow I \) là hình chiếu vuông góc của \( J(2, 2, 2) \) xuống đường thẳng \( \Delta \).

\( \overrightarrow{u_\Delta} = [\overrightarrow{n_P}, \overrightarrow{n_Q}] = [(1, -1, 0), (1, 0, 1)] = (-1, -1, 1) \)

Mặt phẳng \(T\) qua \( J(2, 2, 2) \) vuông góc với \( \Delta \) có phương trình: \( x + y - z - 2 = 0 \).

Hình chiếu vuông góc của \( J \) xuống \( \Delta \) có tọa độ thỏa hệ:  
\( \begin{cases} x - y = 3 \\ x + z = 4 \\ x + y - z = 2 \end{cases} \Leftrightarrow I(3, 0, 1) \Rightarrow R = IA = 2\sqrt{2} \Rightarrow \boxed{D}\).

Cách 2: 
\( R = d(J, \Delta) = \sqrt{6} \Rightarrow R = \sqrt{JA^2 + IJ^2} = \sqrt{6 + 2\sqrt{2}} \)