Đáp án:

Gọi \( D \) là điểm hợp lý
\( T = 3(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DA})^2 + 2(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DB})^2 + (\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC})^2 + 3\overrightarrow{DA}^2 + 2\overrightarrow{DB}^2 + \overrightarrow{DC}^2 \) 
\( = 6MD^2 + 6\overrightarrow{MD} \cdot \overrightarrow{DA} + 4\overrightarrow{MD} \cdot \overrightarrow{DB} + 2\overrightarrow{MD} \cdot \overrightarrow{DC} + \dots \)
\( = 6MD^2 + 2\overrightarrow{MD} \cdot (3\overrightarrow{DA} + 2\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC}) + \dots \)

Tìm điểm \( D \) sao cho: \( 3\overrightarrow{DA} + 2\overrightarrow{DB} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{0} \).  
Gọi \( D(\alpha, \beta, \delta) \), ta có hệ:  
\( \begin{cases} 3( - \alpha) + 2(3 - \alpha) + ( - \alpha) = 0 \\ 3(1 - \beta) + 2( - \beta) + (21 - \beta) = 0 \\ 3(1 - \delta) + 2(-1 - \delta) + (-19 - \delta) = 0 \end{cases}  \Rightarrow \begin{cases} \alpha = 1 \\ \beta = 4 \\ \delta = -3 \end{cases} \Rightarrow D(1, 4, -3) \)

Mặt cầu \( (S) \) có tâm \( I(1, 1, 1) \) và \( R = 1 \).  

\( ID = \sqrt{9 + 16} = 5 \).  

\( T = 6MD^2 \) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow DM \) nhỏ nhất:  
\( \begin{cases} DM = DI - R = 5 - 1 = 4 \\ M  \text{ là giao điểm của đường thẳng}  DI  \text{và mặt cầu} (S) \end{cases}\)  

Đường thẳng \( DI \):  \( \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + 3t \\ z = 1 - 4t \end{cases} \).  

 \( (1 - 1)^2 + (3t)^2 + (4t)^2 = 1  \Rightarrow 25t^2 = 1 \Leftrightarrow t = \pm \frac{1}{5} \)

 \(  M_1(1, \frac{8}{5}, \frac{1}{5}), M_2(1, \frac{2}{5}, \frac{9}{5}) \)

\( DM_1 = \sqrt{\frac{144}{25} + \frac{256}{25}} = 4 \Rightarrow M(1, \frac{8}{5}, \frac{1}{5}) \).  

\( \Rightarrow a + b + c = 1 + \frac{8}{5} + \frac{1}{5} = \frac{14}{5} \Rightarrow \boxed{D}\).