Đáp án
Bài tập: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \( (x - 1)^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 4 \) với điểm \(A(1, -1, 4)\). Điểm \(M\) di động trên mặt cầu (S), \(M \neq A\), điểm \(N\) nằm trên tia \(AM\) sao cho: \( \vec{AN} \cdot \vec{AM} = 20. \) Tìm min của độ dài \(MN\).
A. \(5 \quad \) B. \(3 \quad \) C. \(1 \quad \) D. \(2\)
Đáp án:
Mặt cầu (S) có tâm \(I(1, -1, 2)\) và \(R = 2\).
Gọi \(B\) là điểm đối xứng với \(A(1, -1, 4)\) qua \(I\): \(\Rightarrow B(1, -1, 0) \Rightarrow AB = 4. \)
Gọi \(H\) là điểm trên tia \(AB\) sao cho \(AH = 5\) (\(H\) cố định).
\( \vec{AN} \cdot \vec{AM}=20 \Rightarrow HBMN \) nằm trên 1 đường tròn.
Vì \( \angle BMA = 90^\circ \Rightarrow \angle NMB = 90^\circ \Rightarrow HN \perp AH. \)
\( \Rightarrow N \) nằm trong mặt phẳng \(P\) vuông góc với \(AH\) tại \(H\).
Suy ra: \( Min MN = BH = 1 \Rightarrow \boxed{C} \)