Đáp án
Bài tập: Cho đường thẳng ∆: \( \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{-2} \) và điểm \(A(7, -4, 2)\). Gọi \(M\) là một điểm di động trên đường thẳng ∆, \(N\) là điểm trên tia \(AM\) sao cho: \( \vec{AN} \cdot \vec{AM} = 12. \) Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài \(MN\).
A. \(2 \quad \) B. \(4 \quad \) C. \(6 \quad \) D. \(3\)
Đáp án:
Đường thẳng ∆ đi qua \(B(1, -1, 2)\), \(\vec{u}_\Delta = (2, 1, -2), \vec{AB} = (-6, 3, 0). \)
\( d(A, \Delta) = \frac{|\vec{u}_\Delta , (\vec{AB})|}{|\vec{u}_\Delta|} = \frac{|6, 2 ,12 |}{\sqrt{2 , 1 , -2}} = \frac{18}{3} = 6. \)
Gọi \(K\) là điểm trên tia \(AH\) sao cho \(AK = 2\) (\(K\) cố định).
\( \vec{AN} \cdot \vec{AM} = 12 \implies \vec{AK} \cdot \vec{AH} \implies KHMN\) nằm trên đường tròn
Vì \( \angle KHM = 90^\circ \Rightarrow \angle KNM = 90^\circ \Rightarrow \angle ANK = 90^\circ\):
\( \Rightarrow N \) nằm trên đường tròn đường kính AK.
Do đó \(MN\) nhỏ nhất: \(\Leftrightarrow MN = HK = 4 \Rightarrow \boxed{B}\)