Đáp án:

\( (S)\) là mặt cầu có bán kính \(R = 1\):  \(m\) thỏa yêu cầu
\( \Rightarrow r^2 =  4 + m^2 + (m+1)^2 - (m^2 + 2m + 8) = 1. \)

\( \Leftrightarrow 4 + m^2 + m^2 + 2m + 1 - m^2 - 2m - 8 = 1. \)

\( \Leftrightarrow m^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2. \)

- Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(2, -m, m+1)\), bán kính \(R = \sqrt{m^2 - 3}\).

\( d = d(I, \text{mp}P): \)  
\( r = \sqrt{R^2 - d^2} = 1 \Leftrightarrow d^2 = R^2 - 1 = m^2 - 4. \)

\( \vec{AB} = (2, 6, -2), \quad \vec{AI} = (-1, -m-1, m-1). \)

\( m \) thỏa yêu cầu khi:  
\( d = d(I, AB) = \sqrt{m^2 - 4}. \)

\(\Leftrightarrow \frac{|[\vec{AB}, \vec{AI}]|}{|\vec{AB}|} = \sqrt{m^2 - 4} \Leftrightarrow 11m^2 + 24m - 96 = 0. \)

\( \Leftrightarrow \begin{cases} m = -2 \quad \\ m = \frac{-46}{11} \end{cases} \) Thỏa mãn điều kiện: \( m^2 - 3 > 0. \)

Vậy \( \begin{cases} m = \pm 2 \\ m = \frac{-46}{11} \end{cases} \quad \Rightarrow \boxed{C}. \)