Đáp án:

Tìm điểm \(I(x_0, y_0, z_0)\) sao cho:  
\( d(I, (P)) = \frac{|3mx_0 + 5\sqrt{1 - m^2}y_0 + 4mz_0 + 20|}{\sqrt{9m^2 + 25(1 - m^2) + 16m^2}} = R \text{không đổi}, \quad \forall m \in \mathbb{R} . \)

\( = \frac{|3mx_0 + 5\sqrt{1 - m^2}y_0 + 4mz_0 + 20|}{5} = R. \)

\(I(0, 0, 0) \Rightarrow R = 4\).  

*Mặt phẳng \(P\) luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định, có phương trình:  
\( \begin{cases} y_0 = 0 \\ 3x + 4z = 0 \end{cases}, R = 4 \Rightarrow \boxed{D}\).