Đáp án
Bài tập: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng \(\Delta: \frac{x - 2}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{4}\). Mặt cầu \((S): (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 2\). Hai mặt phẳng \((P), (Q)\) chứa \(\Delta\) và tiếp xúc \((S)\) lần lượt tại \(M\) và \(N\). Tính độ dài đoạn \(MN\).
A. \(2\sqrt{2} \quad \) B. \(\frac{4\sqrt{3}}{3} \quad\) C. \(\sqrt{6} \quad \) D. \(4\)
Đáp án:
- Mặt cầu \((S)\) tâm \(I(1, 2, 1)\), bán kính \(R = \sqrt{2}\).
- Đường thẳng \(\Delta\) qua \(A(2, 0, 0)\), \(\vec{u}_\Delta = (2, -1, 4), \vec{IA} = (1, -2, -1)\).
\( IH = d(I, \Delta) = \frac{|[\vec{u}_\Delta, \vec{IA}]|}{|\vec{u}_\Delta|} = \frac{|(9, 6, -3)|}{|(2 , -1 ,4)|} = \frac{\sqrt{126}}{\sqrt{21}} = \sqrt{6}. \)
\( HM = \sqrt{IH^2 - R^2} = \sqrt{6 - 2} = 2. \)
\( MK = \frac{MH \cdot MI}{HI} = \frac{2 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}. \)
\( MN = 2 \cdot MK = \frac{4\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \boxed{B} \)