Đáp án:

​​​​​​​ Mặt cầu \( (S) \) có tâm \( I(1, 2, 3) \), bán kính \( R = 2 \).  
- Đường thẳng \( d \) luôn qua \( \Delta(1, 0, 0) \), \( \forall m \in \mathbb{R} \).

Hạ \(IH \perp d\), đặt \(IH = a\), Hạ \(TK \perp IH\).  
\( TT' = 2TK = 2 \cdot \frac{TH \cdot TI}{HI} = 2 \cdot \frac{\sqrt{a^2 - R^2} \cdot R}{a} = 4 \cdot \sqrt{1 - \frac{4}{a^2}}. \)

 \(\vec{u}_d = (1, -m, m - 1)\),  
 \( \vec{AI} = (0, 2, 3), \Rightarrow [\vec{u}_d, \vec{AI}] = (-5m + 2, -3, 2). \)

 \(a = d(I, d) = \frac{|[\vec{u}_d, \vec{AI}]|}{|\vec{u}_d|} = \frac{\sqrt{25m^2 - 20m + 17}}{\sqrt{2m^2 - 2m + 2}}. \)

Đặt \(k = \frac{25m^2 - 20m + 17}{2m^2 - 2m + 2}\).  Tìm \(k\) sao cho phương trình này có nghiệm:  

\( \Leftrightarrow (25 - 2k)m^2 + (2k - 20)m + 17 - 2k = 0\) có nghiệm

\(\begin{cases} k = \frac{25}{2} \\ \Delta = -3k^2 + 64k - 325 \geq 0 \end{cases}  \Rightarrow \frac{25}{3} \leq k \leq 13. \)

\( \Rightarrow \frac{5\sqrt{3}}{3} \leq a \leq \sqrt{13}. \)

\( f(a) = 4\sqrt{1 - \frac{4}{a^2}} \, \text{nhỏ nhất}. \)

\( \Leftrightarrow 1 - \frac{4}{a^2} \, \text{nhỏ nhất} \Leftrightarrow \frac{4}{a^2} \, \text{lớn nhất}. \)

\( \Leftrightarrow a^2 \, \text{nhỏ nhất} \Leftrightarrow a \, \text{nhỏ nhất} \, (a \geq 0). \)

\( \Rightarrow a = \frac{5\sqrt{3}}{3}. \)

Khi đó:  \( Minf(a) = 4\sqrt{1 - \frac{4}{\frac{25}{3}}} = 4\sqrt{1 - \frac{12}{25}} = \frac{4\sqrt{13}}{5} \Rightarrow \boxed{A}. \)