Đề bài:
Một cửa hàng bán một loại sản phẩm với:
- Doanh thu (Revenue) khi bán \( x \) sản phẩm: \[ R(x) = 50x - x^2 \quad (\text{đơn vị: nghìn đồng}). \]
- Chi phí (Cost) để sản xuất và bán \( x \) sản phẩm: \[ C(x) = 10x + 5. \]
Giả sử \( x \ge 0 \) (không sản xuất số âm) và \( x \) có thể là số thực (để đơn giản). Tìm \( x \) tối ưu để lợi nhuận \[ P(x) = R(x) - C(x) \] là lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

1. Lập hàm lợi nhuận:
   \[ P(x) = R(x) - C(x) = (50x - x^2) - (10x + 5) = 50x - x^2 - 10x - 5 = 40x - x^2 - 5. \]
2. Tính đạo hàm và tìm điểm tới hạn:
   \[ P'(x) = 40 - 2x. \] Đặt \( P'(x) = 0 \) suy ra \[ 40 - 2x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 20. \]
3. Xét tính cực đại:
   \[ P''(x) = -2 < 0, \] nên \( x = 20 \) cho cực đại.
4. Kiểm tra biên:
   \( x = 0 \Rightarrow P(0) = -5 \) (nhỏ hơn \( P(20) \)).
5. Kết luận:
   \( x = 20 \) là số sản phẩm tối ưu (nếu chấp nhận \( x \) thực). Tính lợi nhuận tối đa: \[ P(20) = 40 \cdot 20 - 400 - 5 = 800 - 405 = 395 \;(\text{nghìn đồng}). \]

Đáp số: Nên bán 20 sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất, đạt 395 (nghìn đồng).