Bài 2 (Trung bình – 1)

Đề bài:
Xét một doanh nghiệp có:
- Doanh thu: \[ R(x) = 200x - 3x^2. \] - Chi phí: \[ C(x) = 50x + 100 + x^2. \] Giả sử doanh nghiệp chỉ có khả năng sản xuất tối đa 60 sản phẩm (tức \( 0 \le x \le 60 \)). Hãy xác định \( x \) tối ưu để lợi nhuận \[ P(x) = R(x) - C(x) \] đạt cực đại.

Lời giải chi tiết:

1. Hàm lợi nhuận:
   \[ P(x) = (200x - 3x^2) - (50x + 100 + x^2) = 200x - 3x^2 - 50x - 100 - x^2 = 150x - 4x^2 - 100. \]
2. Đạo hàm:
   \[ P'(x) = 150 - 8x. \] Giải \( P'(x) = 0 \): \[ 150 - 8x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{150}{8} = 18.75. \]
3. Kiểm tra tính cực đại:
   \[ P''(x) = -8 < 0 \;\Rightarrow\; x=18.75 \text{ là điểm cực đại}. \]
4. So sánh tại biên:
   - \( x=0 \Rightarrow P(0) = -100 \).
   - \( x=60 \Rightarrow P(60) = 150\cdot 60 - 4\cdot 60^2 -100 = 9000 - 14400 - 100 = -54100.\)
5. Kết luận:
   \( x = 18.75 \) (số thực) cho lợi nhuận tối đa. Nếu đòi hỏi \( x \) nguyên, có thể chọn \( x=19 \).
   \[ P(18.75) \approx 1306.25. \]

Đáp số:

• Số thực: \( x \approx 18.75 \), lợi nhuận tối đa \(\approx 1306.25\).
• Số nguyên: \( x=19 \), lợi nhuận \(\approx 1306\).